Gimė 1964 m. gegužės 15 d. Rokiškyje.

1982 m. baigė Rokiškio E.Tičkaus vidurinę mokyklą.

1987 m. baigė Kauno medicinos instituto (dabar – Kauno medicinos universitetas) Farmacijos fakultetą ir įgijo provizoriaus specialybę.

Tais pačiais metais pradėjo dirbti Plungės rajono Alsėdžių vaistinėje vedėju. 1992 m. įsteigė A.Klišonio individualią farmacijos įmonę „Inesa”.

Per rinkimus vienmandatėje Plungės–Rietavo rinkimų apygardoje Nr. 35 surinko vienodai balsų kartu su kitu kandidatu – Visvaldu Nekrašu. Pirmą kartą Lietuvos rinkimų istorijoje buvo panaudota Seimo rinkimų įstatymo norma, kurioje numatyta: jeigu kandidatai, užėmę pirmąją ir antrąją vietas, gavo vienodą balsų skaičių, Seimo nariu tampa vyriausias pagal amžių kandidatas. Kadangi buvo jaunesnis už V.Nekrašą, pralaimėjo Plungės–Rietavo rinkimų apygardoje Nr. 35.

1989–1990 m. – Plungės rajono liaudies deputatų tarybos deputatas. 1990–1995 m. ir nuo 1997 m. – Plungės rajono savivaldybės tarybos narys. 2000 m. kovo–spalio mėnesiais – Plungės rajono savivaldybės valdybos narys, Sveikatos ir socialinių reikalų komiteto pirmininkas.

Plungės „Rotary” klubo, Žurnalistų ir buriuotojų klubo „Marinus”, Plungės verslininkų klubo narys, Plungės krepšinio sporto klubo „Žemaitukai” prezidentas.

Nuo 2001 m. – Lietuvos dziudo federacijos prezidentas.

Nuo 1992 m. – Lietuvos liberalų sąjungos narys. Dabar – šios sąjungos Tarybos, Etikos komisijos narys, Plungės skyriaus pirmininkas.

Angažuojasi sveikatos sistemos srityje.

Pomėgiai – vandens turizmas, kalnų slidinėjimas, krepšinis.

Moka vokiečių, rusų kalbas.

Žmona Inesa Klišonienė – provizorė, dirba A.Klišonio įmonės „Inesa” farmacijos direktore.

Turi 2 vaikus. Sūnus Vytautas Klišonis ir dukra Jomantė Klišonytė – moksleiviai.